宿豫中学 汪雪松

【内容摘要】数学教学难点难以突破，主要是由于学生的认知结构难以“容纳”这些知识，以及教师的教学设计难以找到适当的切入点。因此，教师要突破难点就要优化教学设计，教学设计要顺势利导，激发兴趣，产生共鸣；课堂上科学的数学实验，把抽象的问题形象化；把实际问题逐步数学化；对较难的问题要注意方法的多样化；也可以适当利用多媒体把问题直观化，突破数学教学难点.

【关键词】新课标  教学难点  数学实验  多媒体  不等式

我省自前年实施新课程改革，《新课标》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”然而，作为老师的我们在教学实践中，常有这样感觉：课前对一些内容的教学设计在课堂上实施时，感到不自然，无法与学生产生共鸣，或自圆其说，或生拉硬扯。这些数学内容称之为数学教学难点。教学难点不能与学生产生共鸣，主要是由于学生的认知结构难以“容纳”这一知识，以及教师的教学设计难以找到适当的切入点，这就需要教师设计一定的教学情境，帮助学生逐步将数学难点与头脑中已有的数学知识和经验联系起来。也就是对教材（教学）内容、方法进行重组，以适合学生吸收。

一、教学设计要顺势利导，激发兴趣，产生共鸣

在教学时教师要注意前后呼应的流畅化，在引入新对象时要注意刚学习知识和经验与下面要学的内容之间的联系，一般刚学知识对下续新对象的学习起着非常强的“暗示”作用，如果突然中断，而转入另一知识，学生会显得不知所措。教学时应顺势利导，产生共鸣。

案例1：等比数列前n项和公式的推导。

在等比数列前n项和公式的推导的教学中，方法介绍了多种，但总觉得引入不自然。因为在学习了等比数列的定义后，推导等比数列前n项和公式，在方法上与以往的经验不一样，学生感到很突然。如果启发学生联系等比数列的定义，就容易得到：

         …………………（1）

转化为  =q，=q，=q，…， =q  将各式左右分别相加，得：

 + + +…+  =q + q + q +…+ q，即 ：

 + + +…+  =（+ + +…+ ）q   …………（2）

往下容易得出：- =（- ）q ， 所以（1-q）=- q，

即（1-q）=（1-），所以当q≠1时，=

当然，也可以引导学生对（1）式结合等比性质或对（2）式结合= + + +…+ 的特征等方法，让学生在“不知不觉”中发现和“创造”出各种方法。创设情境，营造交流的氛围，帮助学生把新的问题“同化”到已有的认识框架（认知结构）之中，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，这是优化教学设计的目标。

二、进行科学的数学实验，把抽象的问题形象化

高中数学倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。在课堂教学中合理设计科学的数学实验，可以把学生难以掌握的内容让学生在自己动手探索的过程中潜移默化地接受。

案例2：探究型函数的值域

例如：求函数的值域，大多数学生是这样回答的：

因为

所以 ，即原函数的值域是。

    类似的错误经过反复讲评、订正，但收效甚微。

如何突破学生这一思维定式呢?我觉得在上课时可以利用图象法来描述函数值与自变量之间的关系，这样会让学生觉得更具有直观、形象的特点，也更容易接受与掌握。在课堂教学时可以事先设计如下《数学实验》：

1、实验要求

（1）教室内位于奇数行的学生向后转，每两行中前、后四小组各八名学生组成一个小组；

（2）各组选出一位组长，实验结束后，代表小组作汇报发言；

（3）每位同学自己确定合适的实数。（下表第一列的数，应填多种情况，若不够，请自己添加）

2、在同一坐标系内，画出函数与的图象。（为示区别，建议使用不同的线条）。

3、利用图象，写出函数的值域。

4、写出实验心得。

让学生分组来做，分工合作，小组间再相互交流，在交流过程中，学生以本组活动存在的不足为主。如分类标准不够合理—过分突出 的正、负号；用描点法作的图象没有熟练掌握，甚至画错；对定义域的理解不够到位。等等。而其他组的同学在进行评价时，都尽可能地发现、肯定其优点。因此，交流的气氛非常融洽，经过同学们的补充、概括，得到以下关于“型函数的值域”的结论。

《新课标》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”教师应该认识到，高度的抽象性和形式化，造成了数学的难懂、难教、难学，而数学是一门既注重演绎推导又非常需要实验归纳的学科，这就更需要学习者的亲身感受，让学生从自己的经验和认知基础出发，通过数据处理、运算观察、类比归纳、反思抽象以及符号表示等活动，用数学的思想和方法去发现、去猜想、去提取结论，通过这样的实践与思考、肯定与驳斥，促进学生把客观的数学知识内化为认知结构中的成分。

三、把实际问题逐步数学化，让学生从现实经验中找到突破难点钥匙

现实世界自始自终贯穿在数学化之中，我们常把由现实世界直接形成数学概念的过程称为“概念的”数学化，它往往随着不同的认知水平而逐渐得到提高。观察、比较与识别现实世界中的具体问题，并在类比、归纳的实际经历过程中，建立数学模型，或是找出其共性与规律，形成数学的抽象与概括。

案例3：数学归纳法原理

常见的教学设计是以“多米诺骨牌效应”引入，这个“效应”对学生而言十分直观明了，容易接受，但紧接着引出数学归纳法的两个步骤，特别是第二步归纳假设用于证明的必要性学生不易理解，常常出现没有利用归纳假设的“伪数学归纳法”。究其原因是从多米诺骨牌效应的“形象化”，未逐步“数学化”，而从直观到抽象一步到位，学生无法从中提炼出数学本质。不妨经过简单的“数学化”，提炼出数学本质，使学生的认知结构进行变革“顺应”新的知识。具体步骤是：

第一步：形象化过程（多米诺骨牌效应的分析）：一列多米诺骨牌同时具备二个条件：⑴第一块倒下；⑵假设某一块倒下，可保证它后面的一块也倒下。结论是什么？

第二步：简单的数学化过程（让学生将“多米诺骨牌”换成“偶数列”）：一个数列{an}同时具备二个条件：⑴第一个数是偶数；⑵假设某一个数是偶数，可证明它后面的一个数也是偶数。结论是：所有的数都是偶数。

第三步：理解数学本质（师生交流、生生交流）：议题：将数列问题中一个或二个条件中的“偶数”换成“奇数”，其结论有何变化？

这样通过这三步，学生就可以从一个形象化过程中提炼出数学本质。学生学起来也变的轻松了。

四、对较难的问题要注意方法的多样化

   数学难题之所以难，是因为学生的认知结构和解题能力还不够，但一般难题都有多种解法，教师在讲解时，可以适当的举一反三，多介绍几种解法，让学生加以对比，自发的从中找出解答该题的突破口。

案例4：不等式的证明

不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。然而不等式的证明往往方法多样，教师在讲解时要适当选取。

例如：求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值。

该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值。

解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：

x+y+2≤a²(x+y)，即2≤(a²－1)(x+y)，                 ①

∴x，y＞0，∴x+y≥2，                                       ②

当且仅当x=y时，②中有等号成立.

比较①、②得a的最小值满足a²－1=1，

∴a²=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是.

除了经常用的重要不等式来解答外，也可假设参数a满足不等关系，a≥f(x)，则a_min=f(x)_max；若 a≤f(x)，则a_max=f(x)_min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。即：

解法二：设.

∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)，

∴≤1，的最大值是1.

从而可知，u的最大值为，

又由已知，得a≥u，∴a的最小值为.

该题还可以利用换元法来解答：

解法三：∵y＞0，

∴原不等式可化为+1≤a，

设=tanθ，θ∈(0，).

∴tanθ+1≤a；即tanθ+1≤asecθ

∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)，                               ③

又∵sin(θ+)的最大值为1(此时θ=).

由③式可知a的最小值为.

解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时很多同学习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令=cosθ，=sinθ(0＜θ＜)，这样也得a≥sinθ+cosθ，但是这种换元是错误的.其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的，教师在讲解时要注重强调这一点，

五、适当利用多媒体把问题直观化来突破数学教学难点

数学教学中信息技术应用的现状并不乐观，并不说明信息技术在数学教学中功能性较弱，只能说明信息技术并没有用到数学教学的关键处，为此在教学中要努力寻找信息技术与数学教学的最佳结合点。找到了最佳结合点后，利用多媒体教学能使复杂的问题转化为直观、形象、生动的感性情景，这样大大降低了学生理解和教师教学的难度。运用建构主义思想进行教学设计，通过课堂教学中学生、教师和媒体的互动，内化为学生自己的知识，使得教学难点得以化解。案例5：椭圆的定义及其标准方程

教师可以设计制作了多个椭圆的构造实验，利用网络教室的操作平台及校园网，以具体的数学问题结合“几何画板”有趣的数学实验引起学生的学习兴趣和探究欲望。教师让学生利用“几何画板”自己动手“做”，完成意义建构，探究椭圆构造的方法，以及和其他圆锥（双曲线、抛物线）的联系。

总之突破教学难点是数学课堂教学的关键，要突破难点就要求教师在课前的教学设计将教学过程作有目的、有计划的安排，使各要素尽量达到较优的组合。这就要求教师不仅要系统地进行教学设计，而且还要进行多种多样的设计；然后根据不同的学情进行对比和选择，促进教学过程的优化，并且把优化教学过程理解为一个不断发展的过程。

参考文献：

1. 唐瑞芬  数学教学理论选讲  华东师范大学出版社  2001.1

2. 陶维林  用新课标理念设计一堂课的教学  数学通报 2004.8

3.《对多媒体教学的冷静思考》 《中国电化教育》 1999年第6 期