宿豫中学  孙迎春

摘要：函数概念是中学数学重要概念之一，从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。在中学，课本上函数的抽象定义不易于理解和记忆，学生也往往不从定义出发来理解函数。本文结合新课程教学要求，就函数概念难学的原因及教学对策方面，进行简单阐述。

关键词：函数概念  学生思维特点  学习对策

函数知识是中学数学的核心内容，它是研究变量，反映的是一个变化过程。高中阶段不但象义务教育阶段那样，把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数是数学和其他学科的基础，并能够初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。为了加强不同内容间的有机联系，学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的联系，体会函数图象是理解和研究函数的直观工具。在此前学生接触的基本上是常量的内容。第一次学习非常量意义的函数概念，特别是在学生的概念形成水平较低时，他们在认知上可能会出现困难。但由于函数概念的抽象性与层次性，学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。结合新课程教学要求，就函数概念学习方面，进行简单阐述。

一、学生思维特点及函数本身特点

1.中学生的数学思维自身的一些特点

心理学认为，学生掌握概念的一般特点是：概念的识别优于概念特征的说明，概念外延的掌握优于概念内涵的掌握。对概念内涵的掌握，取决于概念本质特征的多少以及它们之间的关系。本质属性越多、越鲜明，概念形成越容易；非本质属性越多、越明显，概念形成越难。对于所有概念，都是先掌握具体概念后掌握抽象概念，先掌握形式概念后掌握辩证概念。

函数概念的学习中，要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换。但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的。理解函数概念时，需要学生在头脑中建构一个情景（解析式的、表格的或图形的），使得函数的对应法则能够得到形象的、动态的反映；函数是对应法则、定义域、值域的统一体，学生应当领会它们之间的相互制约关系，对三者进行整体把握。像这种抽象地、动态地、相互联系地、整体地认识研究对象，而且要在头脑中把整个动态过程转化为研究对象来研究，这就需要学生的思维在静止与运动、离散与连续之间进行转化。但是，学生的思维发展水平还处于辩证思维很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能够完全胜任这种需要用辩证的思想、运动变化的观点才能理解的学习任务。例如，学生常常认为，x“代表”一个单个的数（可能是未知的）；求函数值就是把数代入“公式”中的字母的运算；学生举出的函数的例子是形如“x＋2”之类的代数式。学生常常把函数概念与“公式”等同起来，因此函数的动态性、变化性在思维中不能得到充分反应。

总之，学生的辩证逻辑思维处于发展的初级阶段，与函数概念的运动、变化、联系的特点非常不适应，这是构成函数概念学习困难的主要根源。不过，正因为函数概念所具有的这种特性，才使它在促进学生思维发展中起着别的数学内容所无法替代的作用，成为从形式逻辑思维向辩证逻辑思维转化的转折点。

2.函数概念发展的历史背景

概念是事物本质的反映。概念形成亦称概念学习，是指个人掌握概念的过程。它是心理学一个重要研究领域，在现代心理学中已有数十年的研究历史。^【9】因此，学生掌握函数概念的过程要简约地重演数学科学发展中对函数的认识过程，普遍出现认识上的困难是比较自然的。另外，从函数概念本身看，以下特点会造成学生理解上的困难。

（1）“变量”概念的复杂性和辩证性

函数涉及较多的子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则，等。其中，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。有的教师将“变量”解释为“变化的量”，显然这是同义反复，于学生理解“变量”的意义并没有帮助。实际上，“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关，但数学中对时、空是没有定义的。另外，数学中的“变量”与日常生活经验有差异。

（2）函数符号的抽象性。

y＝f(x)表示了一种特殊的对应关系，其中每一个字母都有特定的含义。但这种含义仅从字面上是看不出的。我们不能通过“f”来想象对应法则的具体内容，也不能通过x（或y）来想象定义域（或值域）到底是什么。这种抽象性大大增加了函数学习的难度。

二、函数概念学习

1.函数概念的引入方式

我国教材函数概念引入方式为：实际例子（问题）数学解答从过程中提炼出函数概念。这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入手，多层面、多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及“集合”为基础的现代函数定义，所呈现的函数概念结构比较系统和完整，有利于学生基础知识和基本技能的熟练掌握，但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解，并且定义方式理论性较强，比较抽象，不利于学生深入理解函数思想的实质及自身辩证思维能力的发展。

美国教育心理学家奥苏贝尔说过：“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去教学。”在函数概念学习中，情境的创设至关重要，可以选择具有代表性的实例。由具体的实例得出函数的概念“一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y=f(x),xA”，或者利用初中所学的基本函数作为引例，适当引导学生去讨论，去分析他们的共同特点，并启发学生从集合的角度去思考问题，用集合的语言来概括函数的概念的共同特性：（1）问题中所研究的两个变量是相互联系的；（2）其中的一个变量变化时，另一个变量也随着变化；（3）对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应；同时从阅读、练习中巩固概念。情境设计激发了学生在集合的基础上研究两个变量之间关系的欲望和兴趣。学生可以获得变量之间相互依赖关系的切身感受，这种感受对于理解抽象的函数概念是非常重要的。

2.函数概念形成的反思

心理学研究表明：初一学生大多是从功用性定义或具体形象描述水平向接近本质定义或具体解释水平转化.掌握抽象概念有一定困难，在一定程度上要依靠主观的、具体的内容，特别是比较复杂的抽象概念，还抓不住其本质属性，分不清主次的特征。初二是掌握概念的一个转折点，初三学生基本能够掌握他们理解的概念的本质属性，能逐步地分出主次的特征，但对高度抽象概括且缺乏经验支柱的概念，还理解不深。高中学生能够对其所理解的概念，作出较全面的反映事物本质特征和属性的合乎逻辑的定义。

据此来函数是个较难形成的概念。当学生的概念形成水平较低时，不理解它或在认识上感觉困难是非常正常的。新课程中强调注重知识的形成过程的教学，学生只有通过大量客观事例（比如把变量x比喻成原料，对应关系f比喻成机器，“（)”比喻成机器的入口，对应的数值y比喻成产品，即原料x从入口“（)”输入，经过机器f加工变成产品y，从而形象地给出y=f(x)；又比如把自变量x比喻成寄信人，对应关系f比喻成邮寄地址，对应的数值y比喻成收信人，即寄信人x寄出的信件按照邮寄地址被送到收信人y的手中，从而给出y=f(x)。）认识变量的概念，理解量与量的相依关系，才能形成函数概念的描述性定义，获得朴素、直观的认识；通过描点法绘制图象，建立起数形之间的联系，进而总结出“两个允许，两个不允许”；积累一些具体经验素材后，才能建立起函数概念较准确的定义，从而达到较深刻的理解。

三、函数概念的学习对策

从以上的分析来看，作为一个高一的学生来说，我们可以从以下几个方面来加强我们的自身素质：

1.加强数学阅读理解能力的培养

对于数学阅读的重要性，美国著名心理学家布龙菲尔德说：“数学不过是语言所能达到的最高境界”。更有前苏联数学教育家斯托利亚尔言：“数学教学也就是数学语言的教学”。作为数学概念的学习由于其数学概念的高度抽象性，简洁性，这就更要求我们教学中加强数学的阅读。

由于数学语言的高度抽象性，数学阅读需要较强的逻辑思维能力。在阅读过程中，读者必须认读感知阅读材料中有关的数学术语和符号，理解每个术语和符号，并能正确依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的本真理解，形成知识结构，这中间用到的逻辑推理思维特别多。其次，数学语言的特点也在于它的精确性，每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，数学中的结论错对分明，不存在似是而非模棱两可的断言，当一个学生试图阅读、理解一段数学材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇。

正因为数学语言的精炼，浏览、快速阅读等阅读方式不太适合数学阅读学习。数学教科书中的语言可以说是通常的文字语言、数学符号语言、图形语言的交融，数学阅读重在理解领会，而实现领会目的的行为之一就是“内部言语转化”，即把阅读交流内容转化为易于接受的语言形式。因此，数学阅读常要灵活转化阅读内容。在教学中为了更好地理解数学概念，我们往往提问：你能否用你自己的语言来阐述这个问题——将这个抽象表述方式阐述的问题转化成用具体的或不那么抽象的表达方式表述的问题；或你能否把这个符号形式或图表表示的关系转化为言语的形式：或你能否把言语形式表述的概念转化成用直观的图形表述形式；你能否试着用自己更清楚的语言表述正规定义或定理等。这些问题的解答，其实就是对概念语言的换位理解或是降维表述。

2.根据学生的现状设计概念学习的教学情景

美国教育心理学家奥苏贝尔说过：“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去教学。”《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》也指出，数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应该遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上”。这意味着数学教学活动必须把握好学生的学习起点，在学生原有认知水平上组织及展开学习活动。同样数学概念的学习也应注重学生的“学习起点”。

(1)关注学生的学习起点进行概念学习

如何掌握学生学习的逻辑起点呢？在教学开始前的预设阶段，教师必须要钻研整套教材，理清学生知识结构，了解和掌握学生的逻辑学习起点。教师每教一个知识点，都要搞清楚学生在此之前学过哪些相关的知识，以后还有哪些知识与此相关。数学教学活动应合理把握好学习起点，找到学生的最近发展区，促进学生己有知识与经验的迁移，真正实现知识的有效建构。就像一位教育家所说，“要把学生引向一个地方，首先得知道他们现在在哪里？”

在教学中我们强调让学生主动参与，关注知识的自然生成。而精彩生成需要的条件是（1）学生敢动（2）知识联动（3）问题驱动（4）实质互动（5）方向拨动（6）预设变动。同样概念的学习也应是学生需要，并且它的引入是自然和谐的。

(2)让学生在参与中理解概念

新课程中强调注重知识的形成过程的教学，培养学生主动参与能力。但实际上新课程在实施中，我们的教师普遍感觉，课时紧，不重视知识的形成过程的探究，对于数学概念的学习尤其认为记住了，背出了，会用了就可以。其实如果教学中一味地赶进度，追求量的积累，定会影响质的追求，会影响“突破”的时间。同样我们的教师总会有这样的感受，似乎现在的高中生越来越不会问问题，越来越沉默。记得在教育论坛里老师讨论“怎样让沉默的学生行动起来”时有老师的发言给我的印象最深：学生沉默不发言，是因为老师让学生“英雄无用武之地”。反思我们的课堂，老师总想着要把自己的教学任务完成，学生听话，能够配合老师完成好教学任务就行了，久而久之学生越来越听话，课堂上也越变越成了教师的一言堂。作为数学概念的学习，我们可以让学生自己查资料了解其概念的形成背景，意义价值所在，通过小组间的交流挖掘概念的含义，关键所在。

(3)课堂教学要注重概念学习的结构分析

作为数学思维细胞的数学概念，是数学的逻辑起点，也是数学思维的出发点，在数学教学中占有重要地位，概念的学习是数学学习的基础性工作，只有构建完整清晰的知识网络，才能开启思维。数学学习的过程事实上是一个概念不断地作建立——应用——反思——澄清的过程。

如果学生能够自己用语言来表述所学数学概念的有关属性和它们之间的关系,那就能更好地习得数学概念,而且较容易把它用于新的情景。“……学生若能用语言来表述某一数学概念的无关属性,也能从中获得好处”所以,在数学概念学习过程中,要多培养学生用自己的语言来表述

语言是思维的载体,思维需要用语言或文字来表达。数学语言是数学化了的自然语言,是数学特有的形式化符号体系,具有简练，准确，清楚和形式多样的特点。数学语言包括符号语言，文字语言和图式语言。在教学中我们要重视数学语言的符号化和图式化,加强各种数学语言之间的相互沟通，互译和磨合。